1955 schloß E. sein Studium an der Theaterhochschule Leipzig ab, erhielt sein erstes Engagement am Meininger Theater und spielte dann u. a. in Erfurt und Karl-Marx-Stadt (heute wieder Chemnitz). Ab 1961 übernahm er am Deutschen Theater eine Vielzahl von Rollen. Seinen künstlerischen Durchbruch erlangte er 1965 mit der Rolle des Lancelot in Der Drache, die er innerhalb von 17 Jahren in 650 Vorstellungen interpretierte. Zwischen 1969 und 1971 hatte er ein Engagement an der Volksbühne. Auf Soloabenden rezitiert er u. a. Deutschland Ein Wintermärchen, Reineke Fuchs und Die große Kamelfrage. 1979 führte er erstmals Theaterregie für Prexaspes von Peter Hacks (* 1928) am Deutschen Theater.
Esche wirkte an zahlreichen Film-, Fernseh-, Radio-, Schallplatten- und CD-Produktionen mit.